2010年7月17日 星期六

腳踏車的力學模式 (The Force Model Of Bike During Turning)

http://4rdp.blogspot.com/2010/07/force-model-of-bike.html

為了研究 Segway 力學模式,查了一些資料,看到一篇對腳踏車力學模式的報導,提及腳踏車的數學模式非常複雜超乎想像,對此心有戚戚焉,因為我在構思 Segway 時,參考以前物理課本對腳踏車數學模式計算,覺得公式怪怪的。

課本的內容如下:
一人騎腳踏車以 4米 / 秒之速度繞過一彎路,此人讓車與地面傾斜53度角,人與車全重為80 kg,合併重心與輪胎著地點之距離為 1.2米,問轉彎半徑為若干?車胎與地面間的摩擦力多大?


假設人車總重為 mg,地面與車胎間之摩擦係數為 μ,地面施於輪胎之正向力為 N,重心與輪胎著地點之距離為 h,由此可得下列平衡條件:

Σ Fx = mV2 / R = μN,人車向心力與地面摩擦力相等。
Σ Fy = N - mg = 0
Σ L = N(h sinθ) - μN(h cosθ) = 0,以重心為轉軸。

由 Σ Fy 式得 N = mg
由 Σ L 式得 μ = tan θ
將這兩式代入 Σ Fx 得 tan θ = V2 / gR,依課文數據計算

θ = 90 - 53 = 37
V = 4 米 / 秒
g = 9.8 米 / 秒2

得 R = V2 / (g tan θ) = 2.2 米,人車重心之曲線半徑。
重心與輪胎著地點之距離為 h sin θ = 0.72 米
因此,輪胎著地點起算的迴轉半徑為 2.2 + 0.72 = 2.92 米

車胎與地面摩擦力為 μN = mg tan θ = 80 x 9.8 x 0.75 = 588 牛頓



我對這個解答的困惑在於,它把人車整個視為一個剛體,不計算車身分力情形。這樣的分析方法跟我在 Segway 力學模式一文所用的方法不同。以下是用我的方法推導:

f12 = mg cosθ
f13 = f12 sinθ
f14 = f12 cosθ = mg cos2θ = (m cos2θ)g = N,正向力
fc = (m cos2θ) V2 / R,向心力



Σ Fx = fc - f13 ± μf14 = 0
Σ Fy = N - f14 = 0
Σ L = N(h sinθ) + fc(h sinθ) - μN(h cosθ) = 0

請注意,我使用 ± 符號,那是因為不清楚向心力 fc 還是分力 f13 比較大,這會決定摩擦力 μN 的方向,+ 號表示向心力較大。

由 Σ L = 0 可推得
(m cos2θ)g(h sinθ) + (h sinθ)(m cos2θ) V2 / R - μ(m cos2θ)g(h cosθ) = 0
g tanθ + tanθ V2 / R - μg = 0
μ = tanθ (1 + V2 / gR) ..... (1)

將 Σ Fy 代入 Σ Fx 可推得
f13 ± μN = fc
mg sinθcosθ ± μmg cos2θ = (m cos2θ) V2 / R
g sinθ ± μg cosθ = cosθ V2 / R
R = cosθ V2 / (sinθ ± μcosθ)g = V2 / (tanθ ± μ)g ..... (2)

把 (2) 式代入 (1) 式可得
μ = tanθ (1 + V2 / gR) = tanθ (tanθ ± μ) = tan2θ (1 ± tanθ)
因此 μ = 0.984 (向心力大) or 0.141 (向心力小)

當 μ = 0.141,摩擦力 μN = μ(m cos2θ)g = 0.141 x (80 x 0.82) x 9.8 = 70.75 牛頓
利用 (1) 式反算
R = V2 / g(μ / tanθ - 1) = 16 / 9.8(0.984 / 0.75 -1) = -2.01 米,向心力小為不合理的解答

當 μ = 0.984,摩擦力 μN = μ(m cos2θ)g = 0.984 x (80 x 0.82) x 9.8 = 493.73 牛頓
R = V2 / g(μ / tanθ - 1) = 16 / 9.8(0.984 / 0.75 -1) = 5.23 米,向心力大為合理的解答


希望有物理力學的專家給予指導,何者正確?

延伸閱讀:腳踏車的力學模式 二 (The Force Model of Bike During Turning, Part 2)

2 則留言:

  1. 看看你畫的,跟人家畫的,差別在哪裡?就知道錯在哪裡了!向心力是合力的結果,不是一種存在於大自然的基本作用力!你卻當成了一種和萬有引力一樣的存在之力!

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    1. 謝謝你的指導,此文有許多錯誤,我需要重新思考及修正,另外記錄 FB 留言參考,
      https://www.facebook.com/groups/268959983151912/permalink/1236496929731541/

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