2014年6月29日 星期日

大衍求一術 ─ 中國餘數定理

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中國古代採干支紀年,就是用十個天干 (甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸),與十二地支 (子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥),依序組合成 ─ 甲子、乙丑、‧‧‧,因此每六十年成一個週期。古代人類壽命並不長,皇帝在位超過 60 年僅有清朝的康熙 (61 年) 與乾隆 (60 年),所以中國古代使用干支紀年沒甚麼大問題。

中華民國因國父 孫中山先生在武昌起義,辛亥革命成功推翻滿清政府而建立,這正好在 1911 年,以此為基準推算 60 年週期,所以我們可以知道 1971 年或是 1851 年就是辛亥年。不過辛亥年並不是 60 年週期的起頭,如果能計算出甲子年在 19XX 年,那麼其它的干支紀年就容易推算。

南宋的秦九韶(1208年-1261年)『數書九章』中的大衍求一術,就是處理這類數學問題,以現代代數式表示辛亥年,

X ≡ 8 (10)     ‧‧‧ X 除 10 餘 8
X ≡ 12 (12)   ‧‧‧ X 除 12 餘 12 (整除)

由第一式可知 X = {8,18,28,38,48,58},如果要滿足第二式則 X = 48,表示辛亥年排序第 48 年。
X ≡ 48 (60)   ‧‧‧ 辛亥年在干支紀年中排序第 48
因此甲子年在 1851 - (48 - 1) = 1804

那中日甲午戰爭在那一年?歷史的背誦題就變成數學題。

2014年6月25日 星期三

訓練數學感 23 ─ 可以喝多少瓶汽水?

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這題是我的同學在 Line 中出題的,改了一下內容,

每瓶汽水兩元,老板為了促銷,蒐集四個瓶蓋可以換一瓶汽水,蒐集兩個瓶身也可以再換一瓶汽水,請問二十元可以喝幾瓶汽水?

2014年6月22日 星期日

神奇的地球科學常數關係式

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天體運行是非常穩定而規律,因此人類可以透過長期觀測天象取得許多天文常數,哥白尼曾導出一個軌道週期數學式,可以計算地球與行星會合週期及它的恆星週期的關係:



E 是地球的恆星年
P 是其它行星的恆星年
S 為該天體與地球的會合週期


曹亮吉老師所著 從月曆學數學一書提到兩個重要天文數據:

回歸年(Tropical Year) 365.242199 日 (365 天 5 小時 48 分 46 秒),由地球上觀察,太陽在黃道(天球上太陽行進的軌道)一周所經歷的時間。

朔望月(Synodic Month) 29.53059 日 (29 天 12 時 44 分 2.8 秒),從地球觀測月亮朔望變化一周的時間。

我再補充幾個關於地球重要的天文數據,

2014年6月18日 星期三

越逼越近 ─ 連分數

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從月曆學數學一書,了解曆法的演進,因為回歸年 365.2422 日 (太陽在兩個春分之間所需的時間),所以現代西洋儒略曆才會發展出四年一閏日的修正方式,

0.2422 x 4 = 0.9688 ..... 四年加一閏日
0.2422 x 100 = 24.22 ..... 每一百年只能閏 24 次,因此第一百年就不閏日
0.2422 x 400 = 96.88 ..... 第四百年再補閏一天,其實這樣相當一個回歸年有 365.2425 日,表示未來第八個第四百年就不會閏日了。
0.2422 x 1000 = 242.2 ..... 每一千年只能閏 242 次,因此第一千年就不閏日
0.2422 x 4000 = 968.8 ..... 每四千年再補閏一天
0.2422 x 10000 = 2422 ..... 第一萬年不用閏日
最後三行,書上沒有說明由我補述。

至於農曆閏月規則就有點複雜,目前採每十九年閏七個月,這是怎樣求得的?首先

2014年6月14日 星期六

從月曆學數學

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更多有關 從月曆學數學 的事情
從月曆學數學 ─ 曹老師的生活數學教室 2 (原書名:阿草的歷史故事)天下文化出版,ISBN 978-986-216-288-0,曹亮吉 (阿草) 著。

曆就是行事以時,每到年底家裡總是會很多月曆、桌曆、日曆,記得幼稚園時期,母親每年會給我一本小日曆,而我會把它拆亂掉,然後自己不管月份依日期數字大小重組,然後釘成一本小月曆送給我的表哥,從那時候起開始注意曆的規則。

這本書是逛圖書館借的,藉此充實曆法的歷史、天文、數學等方面常識。仔細閱讀後了解,中國的農民曆是陰陽合曆,中國古代為了

2014年6月10日 星期二

對數 (logarithm)

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以前曾經寫文說明開根號的數學計算,今天就說明工程計算機另一重要計算功能 ─ 對數


對數的發明,是因為數學家想簡化算數乘除計算的繁瑣,對數的方法於1614年被約翰·納皮爾 (John Napier) 在 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio  (Description of the Wonderful Rule of Logarithms書中首次公開,而對數符號 log 來自拉丁文 logarithm,是由義大利數學家卡瓦列里 (Cavalieri,1598 - 1647) 所提出。

對數的觀念簡單的說,把數值乘除轉換成數值加減,在計算機發明前需要查表換算,加減計算後再反查表求出最後答案,因此有人發明計算尺,解決查表換算問題。

log(X*Y) = log(X) + log(Y)
log(X/Y) = log(X) - log(Y)
log(Xa) = a * log(X)

另外,為了區別以 10 為基底及超越數 e (Euler's number) 為基底的對數,數學習慣分別表示為 log(X)ln(X),而計算機語言喜歡用 log10(X)及 log(X)表示。在日常應用方面,由於人類對外界感覺的魯鈍,也運用了許多對數的觀念,例如,聲音用分貝、地震用芮氏規模、天文觀測用星等,意思是訊號要變化很大,人們才會有所感覺。

回歸主題,本文的要點為計算機如何計算對數值?在資料型態認識─浮點數 (single & double) 一文提到,任何正實數可以表示為    , 是整數,1 ≤   < 2,那



接下來就要思考如何計算 ln(u),這需要

2014年6月5日 星期四

立方體六分之一的提示(1/6 Cube)

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之前一篇楓之谷數學神偷2─水井中的蝸牛,提到立方體倒水的問題,解答的關鍵在如何獲取1公升的水,這需要一點數學基礎才算得出來,先用微積分求解,把ABCD三角錐切片,以∆BCD為底,將三角形面積一片一片加到A頂點,即是ABCD三角錐體積: