2017年5月18日 星期四

再談弧形面積問題

http://4rdp.blogspot.tw/2017/05/blog-post.html

網友行天下在訓練數學感 137 ─ 弧形問題補充了另一可能解法,將小面積圖塊拼接為大正方形與圓形,藉由多元一次方程式來求解,不過這方法跟四邊形問題解題狀況很像,少了一個獨立方程式而解不出來。

現在提出第二種輔助線,讓大家試看看能不能解出來?畫一線段 OB 經過圓心 E,與線段 CF 相垂直於 L,令線段 FL 長度為 k,線段 BL 長度為 n,可得方程式







這個方法是我的小朋友想出來的,看大家能否利用這樣的線索來解題。


22 則留言:

  1. 我其中一個想法是與月蝕日蝕的模型類似。日偏蝕月偏蝕通常氣象局會說最大蝕分是幾%。
    以這個例子,小圓是在 x=y 這條直線上面移動。
    當B這點與小圓相切時,斜線區域面積為0,然後繼續往右上移動。面積應該會與移動距離成某種函數。
    這是我的其中一個想法。但還有後續的推導要繼續下去。

    回覆刪除
    回覆
    1. 好有趣的比擬,這個日月蝕面積變化,應該與上述方程式有相關連。

      刪除
    2. 這題小圓的圓心 E,其實距離原點在 5sqrt(2) 的位置,BCF大弧小弧圍成的新月月形面積都是相等的。
      例如把小圓圓心移到 (5sqrt(2),0),新月面積是等於BCF的。其他,我要再想想。

      刪除
    3. 嗯,我懂你的意思,將 OE 線段以 O 為圓心旋轉,BCF 新月面積是相等的,讓 E 落於 X 軸,然後調變 E 點去求新月面積大小,找出它的通式。

      刪除
    4. 哇,又是一樁難題!
      非常值得探討,等段考完再來研究研究。

      刪除
    5. 有大家踴躍參與,讓部落格增色許多,謝謝,通解當作進階題,
      祝你段考順利!

      刪除
  2. 回覆
    1. 第二式是從第一式展開推導而來。

      刪除
  3. 其實n,k都是可以算出來的!
    比如說,線段OE=5sqrt(2),所以線段EL=10-5sqrt(2)-n
    (EL)^2+k^2=5^2
    [5sqrt(2)-n]^2+k^2=25
    這樣就有另外一個方程式了。

    我當時的解法是,透過觀察三角形OCE,其實三個邊長都可以算得出來。這時CL=k作為高就可以被求出,與海龍公式證明初期使用畢氏定理算高的方法相同,即可求出k,後用十減之,又得n。

    回覆刪除
    回覆
    1. 更正小錯誤,應該是
      [10-5sqrt(2)-n]^2+k^2=25

      刪除
  4. 回覆
    1. 推導得不錯,過程我並未仔細查看,直接代公式 A(5,10),兩個 arccos 數值都對,不過第三項看不到 25sqrt(7)/2,這部分需要再檢查。

      刪除
    2. 發現是前面的負號提出與[sqrt(2)+1]^2的計算出了問題。
      公式的第三個乘項(也就是四邊形COFE)應改為

      (1/2)sqrt[(-1)(r^4-6r^2R^2+R^4)]

      代入(r,R)=(5,10),可得25sqrt(7)/2。
      ※其實中間的四次式是可以因式分解為二次式的,不過於實際運算上沒有太大助益(我是這麼覺得):
      sqrt[(-1)(r^2-2rR-R^2)(r^2+2rR-R^2)]

      刪除
    3. 很高興你解題出來,謝謝,不過,熬夜就太拼了,睡眠很重要。

      刪除
    4. 那一天晚上點就睡了......半夜醒來沒事做,就著手來解這題了。

      刪除
    5. 原來如此,應該是準備段考太累了。

      刪除
  5. 這個題目的解題技巧,竟然可以用在困擾我多年的問題上:
    交於兩點兩圓之重疊面積公式
    設圓O1:(x-x1)^2+(y-y1)^2=r1^2
    圓O2:(x-x2)^2+(y-y2)^2=r2^2
    且r1+r2>sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=O1O2=a
    s=(1/2)(r1+r2+a)
    兩圓重疊面積為
    r1^2arccos[(1/2r1a)(r1^2-r2^2+a^2)]+r2^2arccos[(1/2r2a)(r2^2-r1^2+a^2)]-2sqrt[s(s-r1)(s-r2)(s-a)]

    回覆刪除
    回覆
    1. 沒想到你還能進一步,把這題目轉化為求解兩圓交疊面積,這是一次成功的推導。

      刪除
    2. 進階題,已知小圓r半徑,n,k長度,求兩圓相交面積?

      刪除
    3. 畢氏定理:
      (R-n)^2+k^2=R^2
      R^2-2nR+n^2+k^2=R^2
      R=(n^2+k^2)/2n
      再代入公式即可。

      上述畢氏定理的列式是相當經典的國三題目。

      刪除
    4. 大圓R推導,與原題第二式同,看來需要 R,r,n,k 計算 a,才能求兩圓相交面積。

      刪除