2018年4月20日 星期五

訓練數學感 171 ─ 正三角形四面體體積

http://4rdp.blogspot.tw/2018/04/171.html

Driezijdige piramide.png
圖案來自維基百科

已知正三角形四面體,邊長為 1,請問該體積多少?



這題是小朋友問問題引伸出來的,我喜歡這類基礎問題,是訓練數學思考的好題目。

6 則留言:

  1. √2/12,通常是用背的

    錐體=(1/3)底面積x高
    =(1/3)(√3/4)高
    =(√3/12)高

    高的部分,必須把底面三角形的外心與其中一頂點連接 此時高、外接圓半徑和四面體稜長會形成直角三角形
    稜長²=外接圓半徑²+高²
    (三角形三心合一,以重心的角度來看,外接圓半徑即為高的2/3)
    1²=[(√3/2)(2/3)]²+高²=1/3+高²
    解得高=√6/3

    代入上面的體積
    =(√3/12)高
    =(√3/12)(√6/3)
    =√18/36
    =3√2/36
    =√2/12

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    1. 記得科展時有用行列式證過,內接四面體的體積必為長方體的1/3
      如果知道這個事實,那推導就更快了!稜長為1,恰為正方形的對角線,得到正六面體稜長√2/2
      計算體積除以三,(√2/2)³/3=(2√2/8)/3=√2/12

      這種內接於正六面體的算法,便於快速計算四面體的各種長度,尤其在化學(甲烷鍵長計算等)非常好用。

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    2. 嗯,確實是好方法,從你的討論,讓我想到一個問題,正六面體一定是正方體嗎?

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    3. 如果論嚴格定義的話,應該是吧。
      https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E9%AB%94

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    4. 嗯,維基把定義寫得很清楚,正六面體一定是正方體,原先我想到用正三角形也可以組出六面體,但是它的頂點不是每個都均等,這樣就不是正六面體。

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